多期最优增长模型

最优增长模型是三位经济学家分别在不同时期提出的理论组成的一个关于经济长期增长的模型，这三位经济学家分别是Ramsey(1928), Cass(1965), Koopmans(1965)。取三位名字的第一个字母就是R-C-K, 故一般把此模型成为RCK模型。

条件 社会规划者问题 0期社会资本为\(k_0\) 社会规划者决定本期的消费量\(c_{0}\)和下一期参与生产的资本\(k_{1}\) 社会生产由函数\(f(k_{0}=Ak^{\alpha}_{0})\)决定 当期资本完全折旧 社会规划者问题就是在一定约束条件下最大化居民一定阶段中的效用\(\sum^{T}_{t=0}\beta^{t}{u(c_{t})}\)。 \[ \begin{align} &\sum^{T}_{t=0}\beta^{t}{u(c_{t})},\forall 0\leq t \geq T\\ s.t. \quad &c_t+k_{t+1} \leq Ak^{\alpha}_{t},\forall 0\leq t \geq T\\ &c_t,k_{t+1} \geq 0,\forall 0\leq t \geq T\\ &k_0 \quad given. \end{align} \] 这一问题中，由于每一期消费\(c_t,\forall 0\leq t \geq T\)和最后一期之前的“下一期”资本\(k_{t+1},\forall 0\leq t \geq T-1\)均大于0，因此社会规划者问题可以改写为： \[ \begin{align} & \sum^{T}_{t=0}\beta^{t}{u(c_{t})},\forall 0\leq t \geq T\\ \mathop{s.t.} \quad &c_t+k_{t+1} \leq Ak^{\alpha}_{t},\forall 0\leq t \geq T\\ &k_{T+1} \geq 0\\ &k_0 \quad given. \end{align} \] 此时，依然存在不等式约束，通过（Kunhn-Tucker Theorem）解决这一问题。 首先，构建拉格朗日函数如下： \[ L(c_0,...,c_T,k_1,...,k_{T+1},)=\sum^{T}_{t=0}[\beta^{t}{u(c_{t})}+\lambda_t(Ak^{\alpha}_{t}-c_t-k_{t+1})]+\mu_{T}k_{T+1} \] 此时存在两种情况： 当\(k_{T+1}=0\)时，该不等式约束在最优时是紧约束，该多项式可以看出拉格朗日问题求解。 当\(k_{T+1}>0\)时，不等式约束是松约束，令\(\mu_{T}=0\)，可以将其看作不含此约束的拉格朗日问题。

因此，我们增加关于这一不等式的约束条件如下： \[ \mu_{T}k_{T+1} =0,\mu_{T}\geq 0,k_{T+1}\geq 0 \] 此时，科伦塔克条件为： \[ \begin{align} L_{c_{t}}& =\beta^tu'(c_t)-\lambda_t=0,\quad t=0,\cdots,T \\ L_{k_{t+1}}& =-\lambda_t+\lambda_{t+1}A\alpha k_{t+1}^{\alpha-1}=0,\quad t=1,\cdots,T-1 \\ L_{k_{T+1}}& =-\lambda_T+\mu_T=0 \\ \mu T& \geq0,k_{T+1}\geq0,\mu_{T}k_{T+1}=0 \end{align} \] 此时，由于\(mu_T=\lambda_T=\beta^Tu'(c_T)>0\) \[{\mu}_{T}k_{T+1}=0 \] 即有\(k_{T+1}=0\) 在动态规划中，\({\mu}_{T}k_{T+1}=0\)这一条件极为重要，其说明在最后一期资本或资本的边际效应为0。 结合上述条件可以求得欧拉方程，最后该最优路径\((c_0^*,\cdots,c_T^*,k_1^*,\cdots,k_{T+1}^*)\)可以写作： \[ \begin{align} &\text{欧拉方程:} &&u^{\prime}(c_{t})=\beta A\alpha k_{t+1}^{\alpha-1}u^{\prime}(c_{t+1}),0\leq t\leq T-1 \\ &\text{资源约束:} &&c_t+k_{t+1}=Ak_{t}^{\alpha},\forall0\leq t\leq T \\ &\text{初始条件:} &&k_0\text{ is given} \\ &\text{横截面条件:} &&k_{T+1}=0 \end{align} \] 无限期视角考虑生命是有限的，我们在每一期中添加死亡概率为\(1-v\),因此，\(t\)时期，消费者预期效用为\(\beta^t v_t u(c_t)\),消费者目标是最大其终身的效用，因此，因为生命周期的不确定，\(t\)是不确定的： \[\sum^{\infty}_{t=0}(\beta v)^{t}{u(c_{t})}\] 通常情况下，我们令\(\beta '=\beta v\),以使形式上统一。